以下是2019年全国大学生数学建模竞赛A题“高压油管的压力控制”的解题思路详解，结合优秀论文和官方资料整理而成，适用于建模全流程参考：
⚙️ 一问题核心目标
研究高压油管在进油（高压油泵供油）和出油（喷油嘴喷油）过程中内部燃油压力的动态变化，通过优化供油策略（如单向阀开启时长凸轮角速度等）实现压力稳定控制。
油管参数：长度500mm内径10mm，入口A孔径1.4mm。关键要求：压力从100MPa稳定至目标值（100MPa或150MPa），调整时间需满足2s5s10s等不同工况。 **二分问题解题思路与模型构建
问题1：恒压供油与压力调整策略
>任务：通过控制单向阀开启时长，使压力稳定在100MPa；后调整至150MPa并分时段稳定。
关键步骤：
1. 压力-密度关系建模：
根据附件3数据拟合压力 \\(P\\) 与密度 \\(\\rho\\) 的关系（二次拟合：\\(\\rho = aP^2 + bP + c\\)）。推导质量守恒方程：\\[
\\frac{dm}{dt} = Q_{\
ext{in}}
Q_{\ ext{out}}\\]
其中 \\(m = \\rho \\cdot V\\)（\\(V\\)为油管容积），\\(Q_{\
ext{in}}\\)\\(Q_{\
ext{out}}\\)分别为进/出油质量流量。
2. 单向阀控制优化：
目标函数：稳态压力与目标压力偏差平方和最小。决策变量：单向阀单次开启时长 \\(t_{\ ext{open}}\\)。求解方法：离散化微分方程，采用差分法迭代计算压力变化。遍历 \\(t_{\ ext{open}}\\)（步长0.01ms），得到最优值 0.288ms（稳定在100MPa）。3. 压力调整策略（100MPa → 150MPa）：
分段控制：将调整过程分为过渡期和稳态期，分别优化 \\(t_{\ ext{open}}\\)：| 调整时间 | 过渡期策略 | 稳态策略 |
|-|-||
| 2s | 0~2s: \\(t_{\
ext{open}}=0.913\
ext{ms}\\) | 后续 \\(t_{\
ext{open}}=0.752\
ext{ms}\\) |
| 5s | 0~5s: \\(t_{\
ext{open}}=0.755\
ext{ms}\\) | 同上 |
| 10s | 0~4.1s: \\(t_{\
ext{open}}=0.288\
ext{ms}\\) | 同上 |
问题2：凸轮驱动供油系统的压力稳定
>任务：引入柱塞腔和针阀运动，确定凸轮角速度 \\(\\omega\\) 使压力稳定在100MPa。
关键步骤：
1. 子系统建模：
柱塞腔压力模型：根据凸轮转动角度 \\(\ heta\\) 计算柱塞位移，建立腔内压力微分方程。针阀运动模型：拟合针阀升程-时间曲线，计算喷孔有效流通面积。2. 质量平衡优化：
计算喷油嘴周期喷油质量（约31.64mg/100ms）和油泵周期进油质量（约74.72mg）。目标：进/出油质量相等 → 凸轮角速度 \\(\\omega\\) 需满足 \\(Q_{\ ext{in}}(\\omega) = Q_{\
ext{out}}\\)。求解：遍历 \\(\\omega\\)（步长0.01rad/s），得最优值 27.5 rad/s。问题3：双喷油嘴与减压阀控制
>任务：增加一个喷油嘴后调整供油策略，并设计减压阀控制方案。
关键步骤：
1. 双喷油嘴时序优化：
决策变量：喷油嘴工作时间间隔 \\(\\Delta t\\)凸轮角速度 \\(\\omega\\)。目标：压力波动最小 → 得最优解：\\(\\Delta t = 50\ ext{ms}\\)，\\(\\omega = 55\
凯发一触即发 ext{rad/s}\\)。2. 减压阀控制方案：
泄压阀式：设定压力阈值（如100MPa），当油压超过阈值时泄压。最优解：阈值=100MPa，\\(\\omega = 440\ ext{rad/s}\\)。电磁阀式：周期性启闭（周期50ms，开启时长2ms），泄压时机需避开喷油高峰（如喷油后25.225ms开启），\\(\\omega = 110\ ext{rad/s}\\)。⚡️ 三通用建模技巧
1. 数值方法：
微分方程求解：欧拉法/龙格-库塔法离散化。优化算法：遍历搜索梯度下降法（如`fmincon`）。2. 数据拟合：
针阀升程曲线→分段函数；凸轮极坐标→极径-角度拟合。3. 关键假设：
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油管刚性温度恒定压力瞬时均匀分布。四参考资料与学习建议
1. 官方资源：
赛题原文：[2019高教社杯赛题] 优秀论文合集：[1992~2019国赛优秀论文] 2. 进阶学习：
复旦大学蔡志杰教授讲评视频（腾讯会议ID:605 203 688）代码实现参考：[数值模拟与差分法] >提示：解题核心是质量守恒+动态优化，建议先构建压力微分方程框架，再结合数值方法分步优化决策变量。注重结果可视化（如压力时序图）以验证稳定性。
